n 乗根（z^n=\alpha の解）
着眼点z=r(\cos\theta+i\sin\theta) とおき、絶対値と偏角を比べる。偏角は「+2k\pi」を付けて k=0,1,\dots,n-1。
- 右辺を極形式に：\alpha=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)
- r^n=R、n\theta=\varphi+2k\pi
- k=0,1,\dots,n-1 を代入（解は単位円を n 等分した正 n 角形の頂点）
例題
1
z^4=-16 を解け。
解答
-16=16(\cos\pi+i\sin\pi)。r^4=16 より r=2、4\theta=\pi+2k\pi より \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}。
k=0,1,2,3 で \theta=\frac{\pi}4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4。z=\pm\sqrt2\pm\sqrt2\,i\ (\text{複号任意の4つ})
k=0,1,2,3 で \theta=\frac{\pi}4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4。z=\pm\sqrt2\pm\sqrt2\,i\ (\text{複号任意の4つ})
2
z^3=8i を解け。
解答
8i=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)。r=2、3\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi より \theta=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}。z=\sqrt3+i,\ \ -\sqrt3+i,\ \ -2i（検算：(-2i)^3=-8i^3=8i）
注意k を 0 だけで止めて解を1つしか書かないミス。n 乗根は必ず n 個。