平面の方程式・点と平面の距離
着眼点法線 (a,b,c) の平面は ax+by+cz+d=0。点と直線の距離の公式の空間版。
\text{点}(x_0,y_0,z_0)\ \text{と平面}\ ax+by+cz+d=0\ \text{の距離}=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
例題
1
点 (1,0,1) を通り \vec n=(1,-1,2) に垂直な平面の方程式と、原点からその平面までの距離を求めよ。
解答
1(x-1)-1\cdot y+2(z-1)=0 より x-y+2z-3=0。\text{距離}=\frac{|-3|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{3}{\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{2}
ポイント後回しでよい理由：現行の教科書では発展扱いで、共通テスト〜地方国公立は位置ベクトルと内積だけで解ける形で出す。例外：空間図形を座標で処理させる理系の個別試験（難関大や医学部）を受ける人は使えると速い。