交点の位置ベクトル（2通りに表して係数比較）
着眼点交点を「直線1の上」「直線2の上」の2通りで表し、\vec a,\vec b の係数を比べる。最後に「\vec a,\vec b は一次独立」と一言書く。
点Pが直線AB上 \iff \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec a+t\vec b（係数の和が1）
\vec a,\vec b が \vec0 でなく平行でない（一次独立）とき
s\vec a+t\vec b=s'\vec a+t'\vec b \implies s=s',\ t=t'例題
1
\triangle\mathrm{OAB} で \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a,\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b とする。辺OAを 2:1 に内分する点をC、辺OBの中点をDとし、線分ADとBCの交点をPとする。\overrightarrow{\mathrm{OP}} を求めよ。
解答
\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac23\vec a,\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac12\vec b。
PはAD上：\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec a+\frac{s}{2}\vec b
PはBC上：\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2t}{3}\vec a+(1-t)\vec b
\vec a,\vec b は一次独立なので 1-s=\frac{2t}{3},\quad \frac s2=1-t第2式より s=2-2t。第1式に代入：-1+2t=\frac{2t}{3} より t=\frac34,\ s=\frac12。\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac12\vec a+\frac14\vec b（検算：t=\frac34 で \frac{2t}{3}=\frac12,\ 1-t=\frac14 と一致）
PはAD上：\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec a+\frac{s}{2}\vec b
PはBC上：\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2t}{3}\vec a+(1-t)\vec b
\vec a,\vec b は一次独立なので 1-s=\frac{2t}{3},\quad \frac s2=1-t第2式より s=2-2t。第1式に代入：-1+2t=\frac{2t}{3} より t=\frac34,\ s=\frac12。\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac12\vec a+\frac14\vec b（検算：t=\frac34 で \frac{2t}{3}=\frac12,\ 1-t=\frac14 と一致）
2
上の点Pについて、直線OPと辺ABの交点をQとする。\overrightarrow{\mathrm{OQ}} と \mathrm{AQ}:\mathrm{QB} を求めよ。
解答
QはOP上なので \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac k2\vec a+\frac k4\vec b。
QはAB上なので係数の和が1：\frac k2+\frac k4=1 より k=\frac43。\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac23\vec a+\frac13\vec b=\frac{2\vec a+1\cdot\vec b}{1+2}答え \mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=1:2
QはAB上なので係数の和が1：\frac k2+\frac k4=1 より k=\frac43。\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac23\vec a+\frac13\vec b=\frac{2\vec a+1\cdot\vec b}{1+2}答え \mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=1:2
ポイントメネラウスの定理でも解けるが、ベクトルの問題として出たら係数比較で書くのが安全。
注意一次独立の断り書きを忘れると記述で減点されやすい。