垂線の足の位置ベクトル
着眼点足Hを「直線上の点」として1文字で置き、「OH ⊥ 直線の向き」で内積 = 0 を解く。
OからABに下ろした垂線の足H：
\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec a+t(\vec b-\vec a),\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot(\vec b-\vec a)=0例題
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|\vec a|=3,\ |\vec b|=2,\ \vec a\cdot\vec b=2 の \triangle\mathrm{OAB} で、Oから直線ABに下ろした垂線の足Hについて \overrightarrow{\mathrm{OH}} を求めよ。
解答
\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\vec a+t(\vec b-\vec a) とおく。\vec a\cdot(\vec b-\vec a)+t|\vec b-\vec a|^2=0\vec a\cdot(\vec b-\vec a)=2-9=-7、|\vec b-\vec a|^2=4-4+9=9。
-7+9t=0 より t=\frac79。\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac29\vec a+\frac79\vec b
-7+9t=0 より t=\frac79。\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac29\vec a+\frac79\vec b
ポイント同じ方法で「点から直線への距離」「正射影」も出せる。