空間ベクトルの成分・内積
着眼点平面の公式に z 成分を足すだけ。両方に垂直なベクトルは、内積 = 0 を2本立てて比を出す。
|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},\quad \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
例題
1
\vec a=(1,2,-2),\ \vec b=(2,0,1) のとき、|\vec a| と \vec a\cdot\vec b を求めよ。
解答
|\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3、\vec a\cdot\vec b=2+0-2=0（つまり \vec a\perp\vec b）
2
\vec a=(1,1,0),\ \vec b=(0,1,1) の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。
解答
求めるベクトルを (x,y,z) とおく。x+y=0,\ y+z=0 より (x,y,z)=(x,-x,x)。
大きさ1：3x^2=1 より x=\pm\frac{1}{\sqrt3}。\pm\left(\frac{1}{\sqrt3},\,-\frac{1}{\sqrt3},\,\frac{1}{\sqrt3}\right)（検算：(1,-1,1)\cdot(1,1,0)=0,\ (1,-1,1)\cdot(0,1,1)=0）
大きさ1：3x^2=1 より x=\pm\frac{1}{\sqrt3}。\pm\left(\frac{1}{\sqrt3},\,-\frac{1}{\sqrt3},\,\frac{1}{\sqrt3}\right)（検算：(1,-1,1)\cdot(1,1,0)=0,\ (1,-1,1)\cdot(0,1,1)=0）
注意単位ベクトルは \pm の2つ。片方だけ答えるミスが多い。