三角形の面積
着眼点\sin を経由せず、内積と大きさから直接出す。成分なら「たすき掛けの差」の半分。
S=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}\vec a=(a_1,a_2),\ \vec b=(b_1,b_2)\ \text{なら}\ S=\frac12|a_1b_2-a_2b_1|
例題
1
\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(3,1),\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,2) のとき \triangle\mathrm{OAB} の面積を求めよ。
解答
S=\frac12|3\cdot2-1\cdot1|=\frac52
2
|\vec a|=3,\ |\vec b|=4,\ \vec a\cdot\vec b=6 のとき、\vec a,\vec b の張る三角形の面積を求めよ。
解答
S=\frac12\sqrt{9\cdot16-6^2}=\frac12\sqrt{108}=\frac12\cdot6\sqrt3=3\sqrt3（検算：\cos\theta=\frac{6}{12}=\frac12 → \frac12\cdot3\cdot4\sin60^\circ=3\sqrt3）
注意3点 A, B, C の座標が与えられたら、まず \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} を作ってから公式に入れる。