内積の定義と成分表示・なす角
着眼点大きさと角が分かっていれば定義、成分が分かっていれば成分の式。角を求めるなら両方を等号でつなぐ。
\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2\quad(0\le\theta\le\pi)\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}
例題
1
\vec a=(1,\sqrt3),\ \vec b=(\sqrt3,1) のなす角 \theta を求めよ。
解答
\vec a\cdot\vec b=\sqrt3+\sqrt3=2\sqrt3、|\vec a|=|\vec b|=2。\cos\theta=\frac{2\sqrt3}{2\cdot2}=\frac{\sqrt3}{2}答え \theta=\frac{\pi}{6}
2
|\vec a|=2,\ |\vec b|=3,\ |\vec a-\vec b|=\sqrt7 のとき、\vec a\cdot\vec b と \vec a,\vec b のなす角を求めよ。
解答
|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 より 7=4-2\vec a\cdot\vec b+9\quad\therefore\ \vec a\cdot\vec b=3\cos\theta=\frac{3}{2\cdot3}=\frac12。答え \theta=\frac{\pi}{3}
注意|\vec a-\vec b| が与えられたら「2乗して展開」。|\vec a-\vec b|=|\vec a|-|\vec b| とはできない。