内分点・外分点・重心
着眼点内分は「たすき掛け」：m:n に内分なら \vec a に n、\vec b に m。外分は n をマイナスにするだけ。
\mathrm{A}(\vec a),\ \mathrm{B}(\vec b) を
m:n\ \text{に内分}:\ \frac{n\vec a+m\vec b}{m+n},\qquad m:n\ \text{に外分}:\ \frac{-n\vec a+m\vec b}{m-n}\text{重心}:\ \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}例題
1
\mathrm{A}(\vec a),\ \mathrm{B}(\vec b) について、線分ABを 2:1 に内分する点Pと外分する点Qの位置ベクトルを求めよ。
解答
\vec p=\frac{1\cdot\vec a+2\vec b}{3}=\frac{\vec a+2\vec b}{3}\vec q=\frac{-1\cdot\vec a+2\vec b}{2-1}=-\vec a+2\vec b
2
\triangle\mathrm{ABC} で、辺BCを 1:2 に内分する点をD、線分ADの中点をEとする。\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec b,\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec c として \overrightarrow{\mathrm{AE}} を表せ。
解答
\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{2\vec b+1\cdot\vec c}{3}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{2\vec b+\vec c}{6}=\frac13\vec b+\frac16\vec c
注意内分の係数を逆にするミスが最多。「近い方の点ほど係数が大きい」で確認する。