成分・大きさ・平行条件
着眼点平行は「一方が他方の実数倍」。成分なら a_1b_2-a_2b_1=0 で一発。
\vec a=(a_1,a_2)\ \text{のとき}\ |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\vec a\parallel\vec b \iff \vec b=k\vec a \iff a_1b_2-a_2b_1=0\quad(\vec a,\vec b\ne\vec0)
例題
1
\vec a=(2,-1),\ \vec b=(x,3) が平行になるような x を求めよ。
解答
2\cdot3-(-1)\cdot x=0 より 6+x=0。答え x=-6
（検算：\vec b=(-6,3)=-3\vec a）
（検算：\vec b=(-6,3)=-3\vec a）
2
\vec a=(1,2),\ \vec b=(1,-1) のとき、|\vec a+t\vec b| の最小値とそのときの t を求めよ。
解答
\vec a+t\vec b=(1+t,\,2-t)。|\vec a+t\vec b|^2=(1+t)^2+(2-t)^2=2t^2-2t+5=2\left(t-\frac12\right)^2+\frac92t=\frac12 のとき最小値 \sqrt{\frac92}=\frac{3\sqrt2}{2}
ポイント|\ \ | の最小は「2乗して2次関数」が定石。