内積で長さ・角を求める（|\ |^2 を展開）
着眼点長さは「2乗して展開」、角は「内積を出して cos」。必要な材料は |\vec a|,\ |\vec b|,\ \vec a\cdot\vec b の3つだけ。
|s\vec a+t\vec b|^2=s^2|\vec a|^2+2st\,\vec a\cdot\vec b+t^2|\vec b|^2
例題
1
\triangle\mathrm{OAB} で |\vec a|=3,\ |\vec b|=2,\ \vec a\cdot\vec b=2 のとき、辺ABの中点をMとして OM の長さを求めよ。
解答
\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{\vec a+\vec b}{2}。|\vec a+\vec b|^2=9+2\cdot2+4=17答え \mathrm{OM}=\frac{\sqrt{17}}{2}
2
同じ三角形で、\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec a+2\vec b と \overrightarrow{\mathrm{AB}} の内積を求めよ。
解答
\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec b-\vec a。(\vec a+2\vec b)\cdot(\vec b-\vec a)=\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2+2|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b=2-9+8-4=-3