4点が同一平面上・直線と平面の交点
着眼点点Pが平面ABC上 \iff \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} で係数の和が1。平面の「係数和=1」版。
\mathrm{P}\ \text{が平面ABC上}\iff \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec a+t\vec b+u\vec c,\ \ s+t+u=1
（\vec a,\vec b,\vec c は同一平面上にない＝一次独立）
例題
1
四面体OABCで \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec a,\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec b,\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec c とする。辺OAの中点L、辺OBを 2:1 に内分する点M、辺OCの中点Nをとる。\triangle\mathrm{ABC} の重心をGとし、直線OGと平面LMNの交点をPとする。\overrightarrow{\mathrm{OP}} を求めよ。
解答
\overrightarrow{\mathrm{OL}}=\frac12\vec a,\ \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac23\vec b,\ \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac12\vec c。
PはOG上：\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac k3(\vec a+\vec b+\vec c)。L, M, N で書き直すと \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2k}{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\frac{k}{2}\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{\mathrm{ON}}Pは平面LMN上なので \frac{2k}3+\frac k2+\frac{2k}3=\frac{11k}{6}=1、k=\frac{6}{11}。\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2}{11}(\vec a+\vec b+\vec c)
PはOG上：\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac k3(\vec a+\vec b+\vec c)。L, M, N で書き直すと \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2k}{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\frac{k}{2}\overrightarrow{\mathrm{OM}}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{\mathrm{ON}}Pは平面LMN上なので \frac{2k}3+\frac k2+\frac{2k}3=\frac{11k}{6}=1、k=\frac{6}{11}。\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{2}{11}(\vec a+\vec b+\vec c)
注意係数の和を見るのは「L, M, N を基準に書き直した後」。\vec a,\vec b,\vec c の係数のまま和を1にしても意味がない。