面積は「上の式−下の式」を積分
着眼点交点の x 座標で区間を決め、上下を確認してから \int(\text{上}-\text{下})dx。x軸の下にある部分は符号に注意。
S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\quad(a\le x\le b \text{ で } f(x)\ge g(x))
手順：①交点を出す ②区間内の1点を代入して上下を判定 ③積分。上下が入れ替わるなら区間を分ける。
例題
1
放物線 y=x^2-2x と x軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
交点 x=0,2。0<x<2 で y<0（x軸が上）。
S=\int_0^2\{0-(x^2-2x)\}dx=\Big[x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2答 \frac43
2
放物線 y=x^2 と直線 y=x+2 で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
x^2=x+2 より x=-1,2。間では直線が上。
S=\int_{-1}^2(x+2-x^2)dx=\Big[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-1}^2=\frac{10}{3}-\Big(-\frac76\Big)答 \frac92