絶対値のついた定積分
着眼点中身の符号が変わる点で区間を分け、絶対値を外してから積分する。グラフを描けば「x軸より下を折り返した面積」。
例題
1
\int_0^3|x^2-2x|dx を計算せよ。
解答
x^2-2x=x(x-2) は 0\le x\le2 で \le0、2\le x\le3 で \ge0。
\int_0^2(2x-x^2)dx+\int_2^3(x^2-2x)dx
前半 =\Big[x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2=4-\frac83=\frac43
後半 =\Big[\frac{x^3}{3}-x^2\Big]_2^3=0-\Big(\frac83-4\Big)=\frac43
答 \frac{8}{3}
後半 =\Big[\frac{x^3}{3}-x^2\Big]_2^3=0-\Big(\frac83-4\Big)=\frac43
答 \frac{8}{3}
注意\left|\int f(x)dx\right| と \int|f(x)|dx は別物。積分してから絶対値をとってはいけない。