文字を含む定積分の最小値
着眼点積分すると文字 a の関数になる。あとは2次関数の最小、または場合分け。
例題
1
I(a)=\int_0^1(x^2-ax)^2dx の最小値と、そのときの a を求めよ。
解答
I(a)=\int_0^1(x^4-2ax^3+a^2x^2)dx=\frac15-\frac{a}{2}+\frac{a^2}{3}
=\frac13\Big(a-\frac34\Big)^2+\frac15-\frac{3}{16}=\frac13\Big(a-\frac34\Big)^2+\frac{1}{80}
答 最小値 \frac{1}{80}（a=\frac34）
答 最小値 \frac{1}{80}（a=\frac34）
2
S(a)=\int_0^1|x-a|dx を a の式で表し、最小値を求めよ。
解答
a\le0：\int_0^1(x-a)dx=\frac12-a
a\ge1：\int_0^1(a-x)dx=a-\frac12
0<a<1：\int_0^a(a-x)dx+\int_a^1(x-a)dx=\frac{a^2}{2}+\frac{(1-a)^2}{2}=a^2-a+\frac12
最小は 0<a<1 の範囲の a=\frac12 で \frac14。
答 最小値 \frac14（a=\frac12）
a\ge1：\int_0^1(a-x)dx=a-\frac12
0<a<1：\int_0^a(a-x)dx+\int_a^1(x-a)dx=\frac{a^2}{2}+\frac{(1-a)^2}{2}=a^2-a+\frac12
最小は 0<a<1 の範囲の a=\frac12 で \frac14。
答 最小値 \frac14（a=\frac12）
ポイント|x-a| の積分は「2つの直角三角形の面積の和」とみると、計算の検算になる。