3次関数と接線（1/12公式）
着眼点3次関数と接線の差は a(x-\alpha)^2(x-\beta) に因数分解できる（接点 \alpha が重解）。
\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)dx=-\frac{(\beta-\alpha)^4}{12}
面積 =\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4（\alpha：接点、\beta：もう1つの交点）。
例題
1
曲線 y=x^3-3x と、その上の点 (-1,2) における接線で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
y'=3x^2-3 より x=-1 で傾き 0、接線は y=2。
x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2) より他の交点は x=2。-1<x<2 では接線が上。 S=\int_{-1}^{2}\{2-(x^3-3x)\}dx=\Big[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+2x\Big]_{-1}^2=6-\Big(-\frac34\Big) 答 \frac{27}{4}（\frac{1}{12}\cdot3^4=\frac{81}{12} と一致）
x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2) より他の交点は x=2。-1<x<2 では接線が上。 S=\int_{-1}^{2}\{2-(x^3-3x)\}dx=\Big[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+2x\Big]_{-1}^2=6-\Big(-\frac34\Big) 答 \frac{27}{4}（\frac{1}{12}\cdot3^4=\frac{81}{12} と一致）