積分の中に x がある \int_0^x(x-t)f(t)dt
着眼点中の x を積分の外に出してから微分する。積の微分を使う。
\int_0^x(x-t)f(t)dt=x\int_0^x f(t)dt-\int_0^x tf(t)dt
\frac{d}{dx}(\text{上式})=\int_0^x f(t)dt+xf(x)-xf(x)=\int_0^x f(t)dt
例題
1
\int_0^x(x-t)f(t)dt=x^4 を満たす f(x) を求めよ。
解答
左辺を x で1回微分すると \int_0^x f(t)dt、右辺は 4x^3。
もう1回微分して f(x)=12x^2。
（検算：\int_0^x(x-t)12t^2dt=12\Big(\frac{x^4}{3}-\frac{x^4}{4}\Big)=x^4）
答 f(x)=12x^2
もう1回微分して f(x)=12x^2。
（検算：\int_0^x(x-t)12t^2dt=12\Big(\frac{x^4}{3}-\frac{x^4}{4}\Big)=x^4）
答 f(x)=12x^2
注意x を外に出さずに「f(x) を代入して (x-x)f(x)=0」とするのは誤り。