定積分の計算と偶関数・奇関数
着眼点[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)。区間が -a から a なら、奇数次は消えて偶数次は2倍。
\int_a^b f(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)
\int_{-a}^{a}x^{\text{偶数}}dx=2\int_0^a x^{\text{偶数}}dx,\qquad \int_{-a}^{a}x^{\text{奇数}}dx=0
\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx,\qquad \int_a^a f(x)dx=0
例題
1
\int_1^3(x^2-2x+3)dx を計算せよ。
解答
\Big[\frac{x^3}{3}-x^2+3x\Big]_1^3=(9-9+9)-\Big(\frac13-1+3\Big)=9-\frac73答 \frac{20}{3}
2
\int_{-2}^{2}(x^3+3x^2-x+1)dx を計算せよ。
解答
奇数次 x^3,\ -x は消える。
2\int_0^2(3x^2+1)dx=2\Big[x^3+x\Big]_0^2=2\cdot10答 20
注意F(b)-F(a) の引き算でカッコを付け忘れ、符号を誤るのが最多のミス。下端の値は必ずカッコでくくる。
確認問題
1
\int_0^2(x+1)^2dx
答え
\Big[\frac{(x+1)^3}{3}\Big]_0^2=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}