面積の証明問題（1/6公式を自分で示す・面積が一定を示す）
着眼点交点を \alpha,\beta と文字のままおき、「上−下 =a(x-\alpha)(x-\beta)」と因数分解した形で積分する。
- 交点の x 座標を \alpha,\beta\ (\alpha<\beta) とおき、解と係数の関係を書く
- 上−下を -a(x-\alpha)(x-\beta) の形にする
- \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} を証明つきで使う
- (\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta で係数の式に直す
例題
1
放物線 y=x^2 上の2点 A(\alpha,\alpha^2),\ B(\beta,\beta^2)\ (\alpha<\beta) について、線分 AB と放物線で囲まれた部分の面積は \frac{(\beta-\alpha)^3}{6} であることを証明せよ。
解答
直線 AB の傾きは \frac{\beta^2-\alpha^2}{\beta-\alpha}=\alpha+\beta なので AB:\ y=(\alpha+\beta)x-\alpha\beta。
\alpha<x<\beta で直線が上にあり、差は (\alpha+\beta)x-\alpha\beta-x^2=-(x-\alpha)(x-\beta)。
(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) より \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=\Big[\frac{(x-\alpha)^3}{3}-(\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^2}{2}\Big]_\alpha^\beta=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} よって面積は \frac{(\beta-\alpha)^3}{6}。（証明終）
\alpha<x<\beta で直線が上にあり、差は (\alpha+\beta)x-\alpha\beta-x^2=-(x-\alpha)(x-\beta)。
(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) より \int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=\Big[\frac{(x-\alpha)^3}{3}-(\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^2}{2}\Big]_\alpha^\beta=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6} よって面積は \frac{(\beta-\alpha)^3}{6}。（証明終）
2
点 (0,1) を通る直線 y=mx+1 と放物線 y=x^2 で囲まれた部分の面積 S(m) の最小値を求めよ。
解答
x^2-mx-1=0 の判別式 m^2+4>0 なので、常に2点で交わる。2解を \alpha<\beta とすると、解と係数の関係より \alpha+\beta=m,\ \alpha\beta=-1。
(\beta-\alpha)^2=m^2+4。
上の結果から S(m)=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\frac{(m^2+4)^{\frac32}}{6}。
m=0 で最小：\frac{8}{6}。
答 最小値 \frac43（m=0）
(\beta-\alpha)^2=m^2+4。
上の結果から S(m)=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\frac{(m^2+4)^{\frac32}}{6}。
m=0 で最小：\frac{8}{6}。
答 最小値 \frac43（m=0）
ポイント「面積が \beta-\alpha だけで決まる」ことが見えると、「面積が一定 \iff 交点の間隔が一定」と言い換えられる。