放物線と接線（1/3公式）
着眼点接線との差は a(x-\alpha)^2 の形になる。\int(x-\alpha)^2dx=\frac{(x-\alpha)^3}{3} で一発。
\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2dx=\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}
2本の接線と放物線で囲まれた面積：接点の x 座標を \alpha,\beta とすると、接線の交点の x 座標は \frac{\alpha+\beta}{2}（真ん中）、面積は \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3。
例題
1
放物線 y=x^2、x=1 における接線、y軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
接線は y=2x-1。差は x^2-(2x-1)=(x-1)^2。
S=\int_0^1(x-1)^2dx=\Big[\frac{(x-1)^3}{3}\Big]_0^1=0-\Big(-\frac13\Big)答 \frac13
2
放物線 y=x^2 の x=-1,\ x=3 における2本の接線と、放物線で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
接線は y=-2x-1 と y=6x-9。交点は -2x-1=6x-9 より x=1。
S=\int_{-1}^1(x+1)^2dx+\int_1^3(x-3)^2dx=\frac83+\frac83答 \frac{16}{3}（\frac{1}{12}\cdot4^3 と一致）