1/6公式（放物線と直線・放物線どうし）
着眼点放物線と直線（または2つの放物線）で囲まれた面積は、交点の差 \beta-\alpha と x^2 の係数の差だけで決まる。
\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}
面積 =\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3（a は「上−下」の x^2 の係数）。
証明：(x-\alpha)(x-\beta)=(x-\alpha)^2-(\beta-\alpha)(x-\alpha) と変形して \int_\alpha^\beta=\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}-\frac{(\beta-\alpha)^3}{2}=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}。
例題
1
放物線 y=x^2-4x+1 と直線 y=x-3 で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
x^2-4x+1=x-3 より x^2-5x+4=0、x=1,4。x^2 の係数の差は 1。
S=\frac16(4-1)^3
答 \frac92
S=\frac16(4-1)^3
答 \frac92
2
2つの放物線 y=x^2 と y=-x^2+2x+4 で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
x^2=-x^2+2x+4 より 2x^2-2x-4=0、x^2-x-2=0、x=-1,2。
上−下 =-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)。係数の差は 2。
S=\frac26\cdot3^3
答 9
上−下 =-2x^2+2x+4=-2(x+1)(x-2)。係数の差は 2。
S=\frac26\cdot3^3
答 9
ポイント交点が無理数（\frac{1\pm\sqrt5}{2} など）のときこそ威力を発揮する。\beta-\alpha=\frac{\sqrt D}{|a|} を使えば交点そのものを求めなくてよい。
注意記述式では「\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac16(\beta-\alpha)^3 を用いて」と式の形を書いてから使う。答えだけ公式で出すと減点されうる。