上端が x → 微分する・x=a を代入する
着眼点\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)。定数（下端の a など）は「x=a を代入すると左辺が 0」で決める。
\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x),\qquad \int_a^a f(t)dt=0
例題
1
\int_1^x f(t)dt=x^2-3x+a を満たす f(x) と定数 a を求めよ。
解答
両辺を x で微分して f(x)=2x-3。
x=1 を代入すると左辺 =0 なので 0=1-3+a。
答 f(x)=2x-3,\ a=2
x=1 を代入すると左辺 =0 なので 0=1-3+a。
答 f(x)=2x-3,\ a=2
2
\int_a^x f(t)dt=x^3-2x^2+x-2 を満たす f(x) と定数 a を求めよ。
解答
微分して f(x)=3x^2-4x+1。
x=a を代入：a^3-2a^2+a-2=0、a^2(a-2)+(a-2)=(a-2)(a^2+1)=0。a は実数なので a=2。
答 f(x)=3x^2-4x+1,\ a=2
x=a を代入：a^3-2a^2+a-2=0、a^2(a-2)+(a-2)=(a-2)(a^2+1)=0。a は実数なので a=2。
答 f(x)=3x^2-4x+1,\ a=2
注意微分だけで終えると定数の情報が失われる。「微分」と「代入」はいつもセット。