上端・下端が定数 → 定数 k とおく
着眼点\int_0^1 f(t)dt は「ただの数」。k とおいて f(x) を表し、もう一度その定義式に戻して k の方程式を作る。
- k=\int_a^b f(t)dt とおく
- f(x) を k を使って表す
- それを k=\int_a^b f(t)dt に代入して k を求める
\int_a^b x f(t)dt のように積分変数でない x は定数として外に出す：x\int_a^b f(t)dt。
例題
1
f(x)=x^2+2\int_0^1 f(t)dt を満たす f(x) を求めよ。
解答
k=\int_0^1 f(t)dt とおくと f(x)=x^2+2k。
k=\int_0^1(t^2+2k)dt=\frac13+2k より k=-\frac13。
答 f(x)=x^2-\frac23
k=\int_0^1(t^2+2k)dt=\frac13+2k より k=-\frac13。
答 f(x)=x^2-\frac23
2
f(x)=3x^2-\int_0^1 x f(t)dt を満たす f(x) を求めよ。
解答
\int_0^1 xf(t)dt=x\int_0^1 f(t)dt。k=\int_0^1 f(t)dt とおくと f(x)=3x^2-kx。
k=\int_0^1(3t^2-kt)dt=1-\frac{k}{2} より k=\frac23。
答 f(x)=3x^2-\frac23x
k=\int_0^1(3t^2-kt)dt=1-\frac{k}{2} より k=\frac23。
答 f(x)=3x^2-\frac23x
注意k を求めた後、f(x) に戻して答える（k の値で止めない）。