接弦定理と接線の長さ
着眼点接線と弦のなす角は、その角の内側にある弧に対する円周角に等しい。円外の点から引いた2本の接線の長さは等しい。
- 接弦定理：A で接する接線と弦 AB のなす角 ＝ 弧 AB に対する（反対側の）円周角 \angle ACB
- 接線の長さ：円外の点から引いた2接線の長さは等しい
- 内接円の接点で分けた長さ：s=\dfrac{a+b+c}{2} とすると頂点 A からの接線の長さは s-a
例題
1
円 O の周上の点 A における接線を l とする。l と弦 AB のなす角（弧 AB 側の角）が 50^\circ のとき、弧 AB を含まない側の円周上の点 C について \angle ACB を求めよ。
解答
接弦定理より \angle ACB=50^\circ。答 50^\circ
2
AB=7,\ BC=8,\ CA=9 の \triangle ABC の内接円が辺 AB, BC, CA と接する点を P, Q, R とする。AP, BQ, CR を求めよ。
解答
AP=AR=x,\ BP=BQ=y,\ CQ=CR=z とおくと x+y=7,\ y+z=8,\ z+x=9。
3式を足して x+y+z=12。
x=12-8=4,\ y=12-9=3,\ z=12-7=5。
答 AP=4,\ BQ=3,\ CR=5
3式を足して x+y+z=12。
x=12-8=4,\ y=12-9=3,\ z=12-7=5。
答 AP=4,\ BQ=3,\ CR=5