円周角・円に内接する四角形
着眼点同じ弧に対する円周角は等しい。内接四角形は対角の和 180^\circ、外角＝内対角。
- 円周角は中心角の半分。直径に対する円周角は 90^\circ
- 四角形が円に内接 ⇔ 対角の和が 180^\circ ⇔ 1つの外角がその内対角に等しい
- 2点 C, D が直線 AB の同じ側にあり \angle ACB=\angle ADB ⇒ A, B, C, D は同一円周上
例題
1
円に内接する四角形 ABCD で \angle A=100^\circ のとき、\angle C と、頂点 C における外角を求めよ。
解答
対角の和が 180^\circ より \angle C=80^\circ。外角は 180^\circ-80^\circ=100^\circ（内対角 \angle A に等しい）。
答 80^\circ,\ 100^\circ
答 80^\circ,\ 100^\circ
2
円に内接する四角形 ABCD で \angle ABD=30^\circ,\ \angle DBC=45^\circ,\ \angle BDC=60^\circ のとき、\angle BAD と \angle ADB を求めよ。
解答
\triangle BCD で \angle BCD=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ。
対角の和より \angle BAD=180^\circ-75^\circ=105^\circ。
\triangle ABD で \angle ADB=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ。
（検算：弧ABの円周角で \angle ADB=\angle ACB=\angle BCD-\angle ACD=75^\circ-30^\circ=45^\circ。\angle ACD=\angle ABD は弧ADの円周角）
答 105^\circ,\ 45^\circ
対角の和より \angle BAD=180^\circ-75^\circ=105^\circ。
\triangle ABD で \angle ADB=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ。
（検算：弧ABの円周角で \angle ADB=\angle ACB=\angle BCD-\angle ACD=75^\circ-30^\circ=45^\circ。\angle ACD=\angle ABD は弧ADの円周角）
答 105^\circ,\ 45^\circ
注意「同じ弧」かどうかは、角の両端の2点が同じかで確かめる。弧の反対側の円周角は 180^\circ- になる。