2円の位置関係と共通接線の長さ
着眼点中心間距離 d と半径 r_1>r_2 の大小で位置関係が決まる。共通接線の長さは、直角三角形を作って三平方。
接点間の長さ：共通外接線 \sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}、共通内接線 \sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}
| 位置関係 | 条件 | 共通接線の本数 |
|---|---|---|
| 離れている | d>r_1+r_2 | 4 |
| 外接 | d=r_1+r_2 | 3 |
| 2点で交わる | r_1-r_2<d<r_1+r_2 | 2 |
| 内接 | d=r_1-r_2 | 1 |
| 内側にある | d<r_1-r_2 | 0 |
例題
1
半径5と2の2円の中心間距離が9である。位置関係と、共通外接線・共通内接線の接点間の長さを求めよ。
解答
9>5+2 なので離れている（共通接線4本）。
外接線：\sqrt{81-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2。
内接線：\sqrt{81-7^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2。
答 離れている、6\sqrt2、4\sqrt2
外接線：\sqrt{81-3^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2。
内接線：\sqrt{81-7^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2。
答 離れている、6\sqrt2、4\sqrt2
ポイント公式を忘れたら、小さい円の中心から接線に平行な線を引き、斜辺 d・一辺 r_1\mp r_2 の直角三角形を作る。