三角形の五心（重心・内心・外心・垂心）
着眼点「何の交点か」と「その点の性質（等距離・比・角）」をセットで言えるようにする。
| 点 | 何の交点か | 使う性質 |
|---|---|---|
| 重心 G | 3本の中線 | 中線を頂点から 2:1 に内分 |
| 内心 I | 3つの内角の二等分線 | 3辺から等距離（内接円の中心）、\angle BIC=90^\circ+\frac12\angle A |
| 外心 O | 3辺の垂直二等分線 | 3頂点から等距離（外接円の中心）、鋭角三角形なら \angle BOC=2\angle A |
| 垂心 H | 3頂点から対辺への垂線 | 鋭角三角形なら \angle BHC=180^\circ-\angle A |
例題
1
\triangle ABC の重心を G、辺 BC の中点を M とする。AM=9 のとき AG を求めよ。
解答
G は中線 AM を 2:1 に内分するので AG=9\times\dfrac23=6。答 6
2
\angle A=70^\circ の鋭角三角形 ABC の内心を I、外心を O、垂心を H とする。\angle BIC,\ \angle BOC,\ \angle BHC を求めよ。
解答
内心：\angle IBC+\angle ICB=\dfrac12(\angle B+\angle C)=\dfrac12(180^\circ-70^\circ)=55^\circ より \angle BIC=125^\circ。
外心：中心角は円周角の2倍で \angle BOC=140^\circ。
垂心：B,C からの垂線の足を E,F とすると四角形 AFHE は \angle AFH=\angle AEH=90^\circ より \angle FHE=180^\circ-70^\circ=110^\circ、対頂角で \angle BHC=110^\circ。
答 125^\circ,\ 140^\circ,\ 110^\circ
外心：中心角は円周角の2倍で \angle BOC=140^\circ。
垂心：B,C からの垂線の足を E,F とすると四角形 AFHE は \angle AFH=\angle AEH=90^\circ より \angle FHE=180^\circ-70^\circ=110^\circ、対頂角で \angle BHC=110^\circ。
答 125^\circ,\ 140^\circ,\ 110^\circ
注意内心と外心の取り違えが多い。内心＝内接円＝角の二等分線、外心＝外接円＝垂直二等分線。
確認問題
1
斜辺が10の直角三角形の外接円の半径は？
答え
5（直角三角形の外心は斜辺の中点）