不等式の証明（差をとって最小値 \ge0）
着眼点「左辺−右辺 =f(x)」とおき、指定範囲での最小値が 0 以上であることを増減表で示す。
- f(x)=(\text{左辺})-(\text{右辺}) とおく
- 指定範囲で増減表を書き、最小値を求める
- 最小値 \ge0 を示し、等号成立条件も書く
例題
1
x\ge0 のとき、x^3+16\ge12x を証明せよ。
解答
f(x)=x^3-12x+16 とおく。f'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)。
x\ge0 では 0\le x<2 で減少、x>2 で増加。最小値は f(2)=8-24+16=0。
よって x\ge0 で f(x)\ge0、すなわち x^3+16\ge12x。等号は x=2。（証明終）
（検算：x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4)）
x\ge0 では 0\le x<2 で減少、x>2 で増加。最小値は f(2)=8-24+16=0。
よって x\ge0 で f(x)\ge0、すなわち x^3+16\ge12x。等号は x=2。（証明終）
（検算：x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4)）
2
x\ge0 のすべての x で x^3-3x+a\ge0 となる a の範囲を求めよ。
解答
g(x)=x^3-3x+a、g'(x)=3(x+1)(x-1)。
x\ge0 での最小値は g(1)=a-2。
a-2\ge0 より
答 a\ge2
x\ge0 での最小値は g(1)=a-2。
a-2\ge0 より
答 a\ge2
注意範囲が「x\ge0」なのに x<0 側の極値まで比べたり、逆に端 x=0 を見落としたりしない。