極値をもつ条件・極値から係数を決める
着眼点3次関数が極値をもつ \iff f'(x)=0 が異なる2実数解（D>0）。極値から係数を決めたら、最後に増減表で十分性を確認。
- 極値をもつ：f'(x)=0 の判別式 D>0
- 極値をもたない（つねに増加など）：D\le0（等号を含む）
- x=a で極値 \Rightarrow f'(a)=0（逆は言えないので確認が要る）
例題
1
f(x)=x^3+ax^2+bx+1 が x=1 で極小値 -2 をとるとき、a,b を求めよ。
解答
f'(x)=3x^2+2ax+b。
必要条件：f'(1)=3+2a+b=0、f(1)=2+a+b=-2。
辺々引いて 1+a=2 より a=1、b=-5。
十分性：f'(x)=3x^2+2x-5=(3x+5)(x-1)。x=1 の前後で−から＋に変わるので確かに極小で、f(1)=1+1-5+1=-2。
答 a=1,\ b=-5
必要条件：f'(1)=3+2a+b=0、f(1)=2+a+b=-2。
辺々引いて 1+a=2 より a=1、b=-5。
十分性：f'(x)=3x^2+2x-5=(3x+5)(x-1)。x=1 の前後で−から＋に変わるので確かに極小で、f(1)=1+1-5+1=-2。
答 a=1,\ b=-5
2
f(x)=x^3+ax^2+ax が常に増加するような a の範囲を求めよ。
解答
f'(x)=3x^2+2ax+a\ge0 がすべての x で成り立てばよい。
\frac{D}{4}=a^2-3a\le0 より
答 0\le a\le3
\frac{D}{4}=a^2-3a\le0 より
答 0\le a\le3
注意「常に増加」は D\le0（D<0 ではない）。D=0 のとき f'(x)=0 になる点は1点だけで、増加は保たれる。
確認問題
1
f(x)=x^3+ax^2+3x が極値をもつ a の範囲
答え
\frac{D}{4}=a^2-9>0 より a<-3,\ 3<a