増減表の書き方と極値
着眼点f'(x) を因数分解 → 符号を表に → 符号が「＋→−」で極大、「−→＋」で極小。
- f'(x) を求めて因数分解し、f'(x)=0 の x を出す
- 表に x,\ f'(x),\ f(x) の3段を作り、f'(x) の符号を書く（3次関数なら「x^3 の係数の符号」が右端の符号）
- 極値の y 座標を計算して書き込む
例題
1
f(x)=x^3-3x^2-9x+2 の極値を求めよ。
解答
f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)
増減：x<-1 で＋、-1<x<3 で−、x>3 で＋。
f(-1)=-1-3+9+2=7、f(3)=27-27-27+2=-25
答 極大値 7（x=-1）、極小値 -25（x=3）
増減：x<-1 で＋、-1<x<3 で−、x>3 で＋。
f(-1)=-1-3+9+2=7、f(3)=27-27-27+2=-25
答 極大値 7（x=-1）、極小値 -25（x=3）
2
f(x)=x^4-2x^2 の極値を求めよ。
解答
f'(x)=4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)
符号：x<-1 で−、-1<x<0 で＋、0<x<1 で−、x>1 で＋。
答 極小値 -1（x=\pm1）、極大値 0（x=0）
符号：x<-1 で−、-1<x<0 で＋、0<x<1 で−、x>1 で＋。
答 極小値 -1（x=\pm1）、極大値 0（x=0）
注意f'(a)=0 でも符号が変わらなければ極値ではない（例：f(x)=x^3 の x=0）。