導関数の公式と計算
着眼点x^n は「指数を前に出して1つ下げる」。展開しにくい (ax+b)^n はそのまま微分してよい。
(x^n)'=nx^{n-1},\quad (c)'=0,\quad \{kf(x)+lg(x)\}'=kf'(x)+lg'(x)
\{(ax+b)^n\}'=na(ax+b)^{n-1}
f'(a) は「導関数 f'(x) に x=a を代入」したもの（x=a における微分係数）。
例題
1
f(x)=2x^3-3x^2+5x-1 のとき、f'(x) と f'(1) を求めよ。
解答
f'(x)=6x^2-6x+5
f'(1)=6-6+5=5
答 f'(x)=6x^2-6x+5,\ f'(1)=5
f'(1)=6-6+5=5
答 f'(x)=6x^2-6x+5,\ f'(1)=5
2
f(x)=x^3+ax^2+bx が f(1)=0,\ f'(1)=-2 を満たすとき、a,b を求めよ。
解答
f'(x)=3x^2+2ax+b。
f(1)=1+a+b=0、f'(1)=3+2a+b=-2。
辺々引いて 2+a=-2 より a=-4、b=3。
答 a=-4,\ b=3
f(1)=1+a+b=0、f'(1)=3+2a+b=-2。
辺々引いて 2+a=-2 より a=-4、b=3。
答 a=-4,\ b=3
注意定数項の微分は 0。(x^3)'=3x^2 を 3x^3 と書く写し間違いが多い。
確認問題
1
f(x)=(2x-1)^3 の f'(x)
答え
3\cdot2(2x-1)^2=6(2x-1)^2（展開して 24x^2-24x+6 と一致）