3次関数のグラフをかく
着眼点極値・y切片・（分かれば）x軸との交点の3つを打って、増減表どおりにつなぐ。
- 増減表を書いて極大・極小の点を打つ
- y切片 (0,f(0)) を打つ
- f(x)=0 が因数分解できれば x軸との交点も打つ（極値の x で重解になっていれば、そこで x軸に接する）
| f'(x)=0 の解 | グラフの形（x^3 の係数が正のとき） |
|---|---|
| 異なる2実数解（D>0） | 山と谷が1つずつ（極大・極小あり） |
| 重解（D=0） | 途中で一瞬水平になるが、ずっと増加 |
| 実数解なし（D<0） | ずっと増加（極値なし） |
例題
1
y=-x^3+3x+2 のグラフの概形をかくための情報をそろえよ。
解答
y'=-3x^2+3=-3(x+1)(x-1)。
増減：x<-1 で−、-1<x<1 で＋、x>1 で−。
極小 (-1,0)、極大 (1,4)、y切片 (0,2)。
-x^3+3x+2=-(x+1)^2(x-2) より、x=-1 で x軸に接し、x=2 で交わる。
答 極小 (-1,0)・極大 (1,4)・y切片 2・x軸と x=-1（接する）、x=2 で交わる
増減：x<-1 で−、-1<x<1 で＋、x>1 で−。
極小 (-1,0)、極大 (1,4)、y切片 (0,2)。
-x^3+3x+2=-(x+1)^2(x-2) より、x=-1 で x軸に接し、x=2 で交わる。
答 極小 (-1,0)・極大 (1,4)・y切片 2・x軸と x=-1（接する）、x=2 で交わる