極大値と極小値の差（3次関数の性質）
着眼点極値の差は、極値をとる x の差 \beta-\alpha だけで決まる。解と係数の関係と組むと計算が短い。
f(x)=ax^3+\cdots が x=\alpha,\beta\ (\alpha<\beta) で極値をとるとき
|f(\alpha)-f(\beta)|=\frac{|a|}{2}(\beta-\alpha)^3理由：f(\alpha)-f(\beta)=-\int_\alpha^\beta f'(x)dx=-3a\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{a}{2}(\beta-\alpha)^3。
また3次関数のグラフは、x=\frac{\alpha+\beta}{2} の点（極大点と極小点の中点）について点対称。
例題
1
f(x)=x^3-3x^2-9x+2 の極大値と極小値の差を、公式で求めよ。
解答
f'(x)=3(x+1)(x-3) より \alpha=-1,\ \beta=3。
差は \frac{1}{2}\cdot4^3=32。
（検算：7-(-25)=32）答 32
差は \frac{1}{2}\cdot4^3=32。
（検算：7-(-25)=32）答 32
2
f(x)=x^3-3ax^2\ (a>0) の極大値と極小値の差が 4 のとき、a を求めよ。
解答
f'(x)=3x(x-2a) より \alpha=0,\ \beta=2a。
差は \frac{1}{2}(2a)^3=4a^3=4 より
答 a=1
（検算：f(0)=0,\ f(2)=8-12=-4、差 4）
差は \frac{1}{2}(2a)^3=4a^3=4 より
答 a=1
（検算：f(0)=0,\ f(2)=8-12=-4、差 4）
注意記述式では公式だけ書かず、積分で示すか、直接 f(\alpha)-f(\beta) を計算する。