曲線外の点から引く接線（接点を t とおく）
着眼点通る点しか分からないときは、接点を (t,f(t)) とおいて接線を作り、通る点を代入して t を決める。
- 接点 (t,f(t)) での接線 y=f'(t)(x-t)+f(t) を書く
- 通る点 (p,q) を代入して t の方程式を解く
- t を戻して接線を答える
例題
1
点 (1,-3) から放物線 y=x^2 に引いた接線の方程式を求めよ。
解答
接点を (t,t^2) とすると接線は y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2。
(1,-3) を通るので -3=2t-t^2、t^2-2t-3=0、(t-3)(t+1)=0。
t=3 のとき y=6x-9、t=-1 のとき y=-2x-1。
答 y=6x-9,\ y=-2x-1
(1,-3) を通るので -3=2t-t^2、t^2-2t-3=0、(t-3)(t+1)=0。
t=3 のとき y=6x-9、t=-1 のとき y=-2x-1。
答 y=6x-9,\ y=-2x-1
2
点 (0,2) から曲線 y=x^3-x に引いた接線の方程式を求めよ。
解答
接点 (t,t^3-t) での接線は y=(3t^2-1)(x-t)+t^3-t=(3t^2-1)x-2t^3。
(0,2) を通るので -2t^3=2、t=-1。
答 y=2x+2
(0,2) を通るので -2t^3=2、t=-1。
答 y=2x+2
ポイント3次関数では「接線の本数＝t の方程式の異なる実数解の個数」。これが実数解の個数の問題（増減表）につながる。
注意点が曲線上にあっても、その点以外で接する接線がありうる。「点 A を通る接線」と「点 A における接線」は別物。