「初めて〜を超える n」を常用対数で
着眼点両辺の常用対数をとって1次不等式にする。\log_{10}(\text{1未満の数})<0 で割るときは向きが逆。
例題
1
1.5^n>100 となる最小の自然数 n を求めよ（\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771）。
解答
\log_{10}1.5=\log_{10}\frac{3}{2}=0.4771-0.3010=0.1761。
0.1761n>2 より n>11.35\cdots。
答 n=12
0.1761n>2 より n>11.35\cdots。
答 n=12
2
同じ条件で、0.9^n<0.1 となる最小の自然数 n を求めよ。
解答
\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1=-0.0458。
-0.0458n<-1 より（負で割るので向きが逆）n>21.8\cdots。
答 n=22
-0.0458n<-1 より（負で割るので向きが逆）n>21.8\cdots。
答 n=22
ポイント1.5=\frac{3}{2}、0.9=\frac{9}{10}、1.2=\frac{12}{10} のように、2・3・5・10 の積と商に直すのが第一手。