対数の定義・性質・底の変換
着眼点定義は「a^p=M \iff p=\log_a M」。底がばらばらなら底の変換公式で1つにそろえる。
a>0,\ a\ne1,\ M>0,\ N>0 のとき
\log_a MN=\log_a M+\log_a N,\quad \log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N,\quad \log_a M^k=k\log_a M \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\ (\text{底の変換}),\qquad \log_a b\cdot\log_b a=1 \log_a 1=0,\quad \log_a a=1,\quad a^{\log_a M}=M例題
1
2\log_3 6-\log_3 4 を計算せよ。
解答
\log_3 36-\log_3 4=\log_3\frac{36}{4}=\log_3 9
答 2
答 2
2
\log_4 9\cdot\log_3 8 を計算せよ。
解答
底を2にそろえる。\log_4 9=\frac{\log_2 9}{\log_2 4}=\frac{2\log_2 3}{2}=\log_2 3、\log_3 8=\frac{3}{\log_2 3}。
積は \log_2 3\cdot\frac{3}{\log_2 3}
答 3
積は \log_2 3\cdot\frac{3}{\log_2 3}
答 3
注意\log_a(M+N) は分解できない。(\log_a M)^2 と \log_a M^2 も別物。
確認問題
1
\log_3\sqrt{27}
答え
\log_3 3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}
2
\log_8 4
答え
\frac{\log_2 4}{\log_2 8}=\frac{2}{3}