a^x=b^y=c^z 型は全体の対数をとる
着眼点「=k」とおいて各辺の対数をとり、x,y,z を \log で表してから代入する。
例題
1
2^x=3^y=6^z\ (xyz\ne 0) のとき、\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z} を示せ。
解答
2^x=3^y=6^z=k とおく。xyz\ne0 より k\ne1、また k>0。
常用対数をとると x\log_{10}2=y\log_{10}3=z\log_{10}6=\log_{10}k\ (\ne 0)。
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\log_{10}2+\log_{10}3}{\log_{10}k}=\frac{\log_{10}6}{\log_{10}k}=\frac{1}{z} （証明終）
常用対数をとると x\log_{10}2=y\log_{10}3=z\log_{10}6=\log_{10}k\ (\ne 0)。
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\log_{10}2+\log_{10}3}{\log_{10}k}=\frac{\log_{10}6}{\log_{10}k}=\frac{1}{z} （証明終）
確認問題
1
2^x=5^y=100 のとき \frac{1}{x}+\frac{1}{y}
答え
x=\frac{2}{\log_{10}2}、y=\frac{2}{\log_{10}5} より \frac{\log_{10}2+\log_{10}5}{2}=\frac{1}{2}