指数方程式・不等式（底をそろえる）
着眼点両辺を同じ底の累乗にして、指数どうしを比べる。底が1より小さいときは不等号の向きが逆。
a^p=a^q \iff p=q
a>1:\ a^p<a^q \iff p<q \qquad 0<a<1:\ a^p<a^q \iff p>q
例題
1
方程式 8^x=4^{x+1} を解け。
解答
2^{3x}=2^{2(x+1)} より 3x=2x+2。
答 x=2
答 x=2
2
不等式 \left(\frac{1}{3}\right)^{x}>9 を解け。
解答
3^{-x}>3^{2}。底 3>1 なので -x>2。
答 x<-2
（底 \frac{1}{3} のまま解くなら \left(\frac{1}{3}\right)^x>\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} より x<-2。向きが逆になる。）
答 x<-2
（底 \frac{1}{3} のまま解くなら \left(\frac{1}{3}\right)^x>\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} より x<-2。向きが逆になる。）
ポイント迷ったら底を1より大きい数（2、3など）にそろえると、不等号の向きを変えずに済む。
確認問題
1
2^{x+1}=\frac{1}{8}
答え
2^{x+1}=2^{-3} より x=-4
2
\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}\le 4
答え
2^{1-x}\le 2^2 より 1-x\le 2、x\ge -1