t=a^x と置いて2次方程式・不等式に
着眼点4^x と 2^x が混ざっていたら t=2^x。置いた瞬間に「t>0」と書く。
4^x=(2^x)^2=t^2、2^{x+1}=2t、2^{-x}=\frac{1}{t}。
2次方程式の解のうち t\le 0 のものは捨てる。
例題
1
方程式 4^x-3\cdot 2^{x+1}+8=0 を解け。
解答
t=2^x\ (t>0) とおくと t^2-6t+8=0、(t-2)(t-4)=0。
t=2,4（どちらも t>0 を満たす）。2^x=2 より x=1、2^x=4 より x=2。
答 x=1,2
t=2,4（どちらも t>0 を満たす）。2^x=2 より x=1、2^x=4 より x=2。
答 x=1,2
2
不等式 9^x-4\cdot 3^x+3<0 を解け。
解答
t=3^x\ (t>0) とおくと t^2-4t+3<0、(t-1)(t-3)<0 より 1<t<3。
3^0<3^x<3^1、底 3>1 なので
答 0<x<1
3^0<3^x<3^1、底 3>1 なので
答 0<x<1
注意t>0 を書き忘れると、負の解 t から存在しない x を作ってしまう。
確認問題
1
4^x-2^x-2=0
答え
t^2-t-2=0、t=2,-1。t>0 より t=2、x=1