桁数・最高位の数字・小数第何位
着眼点\log_{10}N の整数部分で桁数、小数部分で最高位の数字が決まる。
- N が n 桁 \iff 10^{n-1}\le N<10^n \iff n-1\le\log_{10}N<n
- 0<N<1 が小数第 n 位に初めて0でない数字 \iff 10^{-n}\le N<10^{-n+1}
- 最高位：\log_{10}N の小数部分を \log_{10}2,\log_{10}3,\dots と比べる
| 数 | 常用対数（近似値） |
|---|---|
| \log_{10}2 | 0.3010 |
| \log_{10}3 | 0.4771 |
| \log_{10}4 | 0.6020 |
| \log_{10}5=1-\log_{10}2 | 0.6990 |
| \log_{10}6 | 0.7781 |
| \log_{10}7 | 0.8451 |
例題
1
\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771 とする。6^{20} は何桁の数か。また最高位の数字を求めよ。
解答
\log_{10}6^{20}=20(0.3010+0.4771)=15.562
15\le 15.562<16 より16桁。
6^{20}=10^{15}\times10^{0.562}。\log_{10}3=0.4771<0.562<0.6020=\log_{10}4 より 3<10^{0.562}<4。
答 16桁、最高位の数字は 3
15\le 15.562<16 より16桁。
6^{20}=10^{15}\times10^{0.562}。\log_{10}3=0.4771<0.562<0.6020=\log_{10}4 より 3<10^{0.562}<4。
答 16桁、最高位の数字は 3
2
同じ条件で、\left(\frac{1}{3}\right)^{30} は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。
解答
\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)^{30}=-30\times0.4771=-14.313
-15\le -14.313<-14 より 10^{-15}\le\left(\frac{1}{3}\right)^{30}<10^{-14}。
答 小数第15位
-15\le -14.313<-14 より 10^{-15}\le\left(\frac{1}{3}\right)^{30}<10^{-14}。
答 小数第15位
注意負のとき「-14.313 だから14位」としがち。10^{-15}\le N<10^{-14} の形に直して判断する。
確認問題
1
2^{50} の桁数（\log_{10}2=0.3010）
答え
50\times0.3010=15.05 より16桁