a^x+a^{-x} を置き換える最大・最小
着眼点t=a^x+a^{-x} と置くと相加相乗平均で t\ge 2。a^{2x}+a^{-2x}=t^2-2 で2次関数になる。
t=a^x+a^{-x}\ge 2\sqrt{a^x\cdot a^{-x}}=2\quad(\text{等号は } x=0)
a^{2x}+a^{-2x}=t^2-2
例題
1
y=4^x+4^{-x}-2(2^x+2^{-x}) の最小値と、そのときの x を求めよ。
解答
t=2^x+2^{-x} とおくと、相加相乗平均より t\ge 2（等号は x=0）。
4^x+4^{-x}=t^2-2 なので y=t^2-2-2t=(t-1)^2-3 t\ge 2 の範囲では t が大きいほど y は大きいので、t=2 で最小。y=1-3=-2。
答 最小値 -2（x=0）
4^x+4^{-x}=t^2-2 なので y=t^2-2-2t=(t-1)^2-3 t\ge 2 の範囲では t が大きいほど y は大きいので、t=2 で最小。y=1-3=-2。
答 最小値 -2（x=0）
注意t の範囲を t>0 としてしまうと、軸 t=1 で最小と誤る。必ず t\ge 2。