指数法則と累乗根
着眼点累乗根はすべて分数の指数に直し、底を素数にそろえてから指数の足し引きで計算する。
a>0,\ b>0、r,s は有理数のとき
a^r a^s=a^{r+s},\quad (a^r)^s=a^{rs},\quad (ab)^r=a^r b^r a^0=1,\quad a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}例題
1
\sqrt[3]{4}\times\sqrt[6]{16}\div\sqrt{2} を計算せよ。
解答
底を2にそろえる。\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}、\sqrt[6]{16}=2^{\frac{4}{6}}=2^{\frac{2}{3}}、\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}。
2^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{6}}
答 \sqrt[6]{32}（=2^{\frac{5}{6}}）
2
x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3 のとき、x+x^{-1} と x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}} の値を求めよ。
解答
a=x^{\frac{1}{2}},\ b=x^{-\frac{1}{2}} とおくと a+b=3,\ ab=1。
x+x^{-1}=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=9-2=7
x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=27-9=18
答 7,\ 18
x+x^{-1}=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=9-2=7
x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{3}{2}}=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=27-9=18
答 7,\ 18
ポイント「和と積が分かる2数」に見えたら対称式の公式（a^2+b^2、a^3+b^3）に持ち込む。
注意\sqrt[n]{a^m} は a^{\frac{m}{n}}。分母と分子を逆にする誤りが多い。(a^r)^s と a^{r^s} も別物。
確認問題
1
27^{\frac{2}{3}}
答え
(3^3)^{\frac{2}{3}}=3^2=9
2
\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{1}{3}}
答え
(2^{-3})^{-\frac{1}{3}}=2^1=2