累乗・累乗根の大小比較
着眼点底がそろうなら指数で比べる。そろわないなら、全部を同じ回数だけ累乗して根号を外す。
- a>1 のとき p<q \iff a^p<a^q（増加）
- 0<a<1 のとき p<q \iff a^p>a^q（減少・向きが逆）
- 根号の次数がばらばらなら、最小公倍数乗する。
例題
1
2^{-1},\ \left(\frac{1}{2}\right)^{3},\ 4^{\frac{1}{3}} を小さい順に並べよ。
解答
底を2に：2^{-1},\ 2^{-3},\ 2^{\frac{2}{3}}。底 2>1 なので指数の小さい順。
答 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}<2^{-1}<4^{\frac{1}{3}}
答 \left(\frac{1}{2}\right)^{3}<2^{-1}<4^{\frac{1}{3}}
2
\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[6]{26} を小さい順に並べよ。
解答
どれも正なので6乗して比べる。
(\sqrt{3})^6=27,\ (\sqrt[3]{5})^6=25,\ (\sqrt[6]{26})^6=26
答 \sqrt[3]{5}<\sqrt[6]{26}<\sqrt{3}
(\sqrt{3})^6=27,\ (\sqrt[3]{5})^6=25,\ (\sqrt[6]{26})^6=26
答 \sqrt[3]{5}<\sqrt[6]{26}<\sqrt{3}
注意累乗して比べてよいのは全部正のときだけ。負の数が混じったら先に符号で分ける。
確認問題
1
2^{30} と 3^{20} はどちらが大きいか。
答え
2^{30}=8^{10}、3^{20}=9^{10} なので 3^{20} が大きい（指数を10でくくってそろえる）。