三角関数の合成
着眼点(a,b) を座標とみて、原点からの距離 \sqrt{a^2+b^2} と角 \alpha を読む。最大最小は角の範囲を必ず書き出す。
a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha)
ただし \cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}（点 (a,b) の偏角が \alpha）
例題
1
\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta を r\sin(\theta+\alpha) の形にせよ（r>0,\ -\pi<\alpha\le\pi）。
解答
点 (1,\sqrt{3}): 距離 2、偏角 \dfrac{\pi}{3}
答 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
答 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)
2
0\le\theta\le\pi のとき、y=\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta の最大値・最小値を求めよ。
解答
点 (1,-\sqrt{3}): 距離 2、偏角 -\dfrac{\pi}{3} より y=2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)
-\dfrac{\pi}{3}\le\theta-\dfrac{\pi}{3}\le\dfrac{2}{3}\pi より -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)\le1
答 最大値 2（\theta=\dfrac{5}{6}\pi）、最小値 -\sqrt{3}（\theta=0）
-\dfrac{\pi}{3}\le\theta-\dfrac{\pi}{3}\le\dfrac{2}{3}\pi より -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)\le1
答 最大値 2（\theta=\dfrac{5}{6}\pi）、最小値 -\sqrt{3}（\theta=0）
注意範囲を書かずに「最小値 -2」とするミスが多い。\theta+\alpha の範囲を単位円にかいて確認。