単位円による定義と値
着眼点単位円上の点の x 座標が \cos、y 座標が \sin、傾きが \tan。値は覚えるより単位円で読む。
動径と単位円の交点を (x,y) とすると \cos\theta=x,\ \sin\theta=y,\ \tan\theta=\dfrac{y}{x}
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\qquad 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}- \sin(-\theta)=-\sin\theta,\ \cos(-\theta)=\cos\theta
- \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta,\ \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta
- \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta,\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta
| \theta | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} | \frac{2}{3}\pi | \frac{3}{4}\pi | \frac{5}{6}\pi | \pi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \sin | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 |
| \cos | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 | -\frac{1}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{\sqrt{3}}{2} | -1 |
| \tan | 0 | \frac{1}{\sqrt{3}} | 1 | \sqrt{3} | なし | -\sqrt{3} | -1 | -\frac{1}{\sqrt{3}} | 0 |
例題
1
\sin\dfrac{11}{6}\pi,\ \cos\dfrac{4}{3}\pi,\ \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) の値を求めよ。
解答
\dfrac{11}{6}\pi は第4象限で基準角 \dfrac{\pi}{6}: \sin\dfrac{11}{6}\pi=-\dfrac{1}{2}
\dfrac{4}{3}\pi は第3象限で基準角 \dfrac{\pi}{3}: \cos\dfrac{4}{3}\pi=-\dfrac{1}{2}
\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\tan\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt{3}
\dfrac{4}{3}\pi は第3象限で基準角 \dfrac{\pi}{3}: \cos\dfrac{4}{3}\pi=-\dfrac{1}{2}
\tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\tan\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt{3}
2
\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi、\sin\theta=\dfrac{3}{5} のとき \cos\theta,\ \tan\theta を求めよ。
解答
\cos^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}。第2象限なので \cos\theta<0
\cos\theta=-\dfrac{4}{5}、\tan\theta=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}
\cos\theta=-\dfrac{4}{5}、\tan\theta=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}
注意\cos^2\theta から \cos\theta を出すとき、象限で符号を決めるのを忘れない。