2倍角・半角の公式
着眼点\cos2\alpha は3通りの形を使い分ける（\sin だけにしたい・\cos だけにしたい）。半角は \cos2\alpha の式の変形。
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2},\qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}
例題
1
0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}、\sin\alpha=\dfrac{1}{3} のとき、\sin2\alpha,\ \cos2\alpha を求めよ。
解答
\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}
\sin2\alpha=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}
\cos2\alpha=1-2\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{7}{9}
（検算: \dfrac{32}{81}+\dfrac{49}{81}=1）
\sin2\alpha=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{4\sqrt{2}}{9}
\cos2\alpha=1-2\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{7}{9}
（検算: \dfrac{32}{81}+\dfrac{49}{81}=1）
2
\sin\dfrac{\pi}{8} の値を求めよ。
解答
\sin^2\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}
\sin\dfrac{\pi}{8}>0 より \sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
\sin\dfrac{\pi}{8}>0 より \sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
ポイント3倍角は加法定理＋2倍角で作れる: \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha、\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha。