加法定理
着眼点\sin は「サインコス・コスサイン」で符号そのまま、\cos は「コスコス・サインサイン」で符号逆。
\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}
例題
1
\sin75^\circ と \tan15^\circ の値を求めよ。
解答
\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}=2-\sqrt{3}
\tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\dfrac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}=2-\sqrt{3}
2
\alpha,\beta は鋭角で \sin\alpha=\dfrac{3}{5},\ \cos\beta=\dfrac{5}{13} のとき、\sin(\alpha+\beta),\ \cos(\alpha+\beta) を求めよ。
解答
鋭角なので \cos\alpha=\dfrac{4}{5},\ \sin\beta=\dfrac{12}{13}
\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{13}+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{15+48}{65}=\dfrac{63}{65}
\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{13}-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{20-36}{65}=-\dfrac{16}{65}
（検算: 63^2+16^2=3969+256=4225=65^2）
\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{13}+\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{15+48}{65}=\dfrac{63}{65}
\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{13}-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{20-36}{65}=-\dfrac{16}{65}
（検算: 63^2+16^2=3969+256=4225=65^2）