t=\sin\theta+\cos\theta の置き換え
着眼点\sin\theta+\cos\theta と \sin\theta\cos\theta が両方あったらこの置換。t の範囲は合成で出す。
t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right),\qquad \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}{2}
\theta に制限がなければ -\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}
例題
1
t=\sin\theta+\cos\theta のとき、\sin\theta\cos\theta を t で表せ。
解答
t^2=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=1+2\sin\theta\cos\theta
答 \sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}{2}
答 \sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}{2}
2
0\le\theta<2\pi のとき、y=\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta の最大値・最小値を求めよ。
解答
y=t+\dfrac{t^2-1}{2}=\dfrac{1}{2}(t+1)^2-1、-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}
最小: t=-1 で -1
最大: t=\sqrt{2} で \dfrac{1}{2}(\sqrt{2}+1)^2-1=\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}（\theta=\dfrac{\pi}{4}）
答 最大値 \dfrac{1}{2}+\sqrt{2}、最小値 -1
（検算: \theta=\dfrac{\pi}{4} で \sqrt{2}+\dfrac{1}{2}、\theta=\pi で -1）
最小: t=-1 で -1
最大: t=\sqrt{2} で \dfrac{1}{2}(\sqrt{2}+1)^2-1=\dfrac{1+2\sqrt{2}}{2}（\theta=\dfrac{\pi}{4}）
答 最大値 \dfrac{1}{2}+\sqrt{2}、最小値 -1
（検算: \theta=\dfrac{\pi}{4} で \sqrt{2}+\dfrac{1}{2}、\theta=\pi で -1）