三角方程式
着眼点単位円で角を読む。2\theta+\alpha などは置き換えて範囲も変換してから解く。
- \sin\theta=k → 直線 y=k と単位円の交点、\cos\theta=k → 直線 x=k との交点
- t=b\theta+c とおいたら t の範囲を出す
- 範囲内の t をすべて挙げ、\theta に戻す
例題
1
0\le\theta<2\pi のとき、2\cos\theta+\sqrt{3}=0 を解け。
解答
\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
答 \theta=\dfrac{5}{6}\pi,\ \dfrac{7}{6}\pi
答 \theta=\dfrac{5}{6}\pi,\ \dfrac{7}{6}\pi
2
0\le\theta<\pi のとき、\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} を解け。
解答
t=2\theta+\dfrac{\pi}{3} とおくと \dfrac{\pi}{3}\le t<\dfrac{7}{3}\pi
\sin t=\dfrac{1}{2} より t=\dfrac{5}{6}\pi,\ \dfrac{13}{6}\pi（\dfrac{\pi}{6} は範囲外）
2\theta=t-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{11}{6}\pi
答 \theta=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{11}{12}\pi
\sin t=\dfrac{1}{2} より t=\dfrac{5}{6}\pi,\ \dfrac{13}{6}\pi（\dfrac{\pi}{6} は範囲外）
2\theta=t-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{11}{6}\pi
答 \theta=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{11}{12}\pi
注意範囲が1周を超える（例題2は \dfrac{\pi}{3} から \dfrac{7}{3}\pi まで）と、2周目の解 \dfrac{13}{6}\pi を落としやすい。