三角不等式
着眼点等号で解いて境界の角を出し、単位円で「どちら側か」を読む。2次式なら先に \sin\theta の範囲を出す。
例題
1
0\le\theta<2\pi のとき、\sin\theta>\dfrac{1}{2} を解け。
解答
\sin\theta=\dfrac{1}{2} となるのは \theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi
直線 y=\dfrac{1}{2} より上の弧なので 答 \dfrac{\pi}{6}<\theta<\dfrac{5}{6}\pi
直線 y=\dfrac{1}{2} より上の弧なので 答 \dfrac{\pi}{6}<\theta<\dfrac{5}{6}\pi
2
0\le\theta<2\pi のとき、2\cos^2\theta+3\sin\theta-3<0 を解け。
解答
\cos^2\theta=1-\sin^2\theta より -2\sin^2\theta+3\sin\theta-1<0
2\sin^2\theta-3\sin\theta+1>0、(2\sin\theta-1)(\sin\theta-1)>0
\sin\theta<\dfrac{1}{2} または \sin\theta>1（後者は不適）
答 0\le\theta<\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi<\theta<2\pi
2\sin^2\theta-3\sin\theta+1>0、(2\sin\theta-1)(\sin\theta-1)>0
\sin\theta<\dfrac{1}{2} または \sin\theta>1（後者は不適）
答 0\le\theta<\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi<\theta<2\pi
注意0\le\theta<2\pi で下側の弧を答えるとき、\theta=0 をまたぐので2つの区間に分かれる。