楕円 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1
着眼点焦点は「大きい方 − 小さい方」の平方根：c=\sqrt{a^2-b^2}。焦点からの距離の和は長軸の長さ 2a。
a>b>0 のとき
\text{焦点}\ (\pm\sqrt{a^2-b^2},\ 0),\quad \mathrm{PF}+\mathrm{PF'}=2a長軸の長さ 2a、短軸の長さ 2b。b>a なら焦点は y 軸上 (0,\pm\sqrt{b^2-a^2})。
例題
1
楕円 \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1 の焦点と、楕円上の点から2焦点までの距離の和を求めよ。
解答
c=\sqrt{25-9}=4。焦点 (\pm4,\,0)、距離の和 2\cdot5=10
2
焦点が (0,\pm2)、長軸の長さが6の楕円の方程式を求めよ。
解答
焦点が y 軸上なので \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (b>a)、2b=6 より b=3。
b^2-a^2=4 より a^2=5。答え \dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1
b^2-a^2=4 より a^2=5。答え \dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1
注意双曲線と混ぜて c=\sqrt{a^2+b^2} にしてしまうミス。楕円は「引く」。